Meilleure Façon De Commencer Avec Les Problèmes D’erreur D’approximation Différentielle

Jan 31, 2022 French

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Parfois, votre incroyable système peut générer le code d’erreur indiquant une erreur d’approximation différentielle. Il peut y avoir plusieurs raisons pour lesquelles cette erreur apparaît.Cette entreprise peut être résumée comme suit : Erreur d’approximation linéaire : si la valeur de ma variable x est mesurée chaque fois que x est égal à a avec “l’erreur” tout au long des unités de ∆x, alors ∆f sera probablement “l’erreur” tout au long de l’estimation pointant à f. (x), ∆f est égal à f(x) – f(a) ≈ f'(a). ∆x.

  • Différences
  • Ajustement linéaire
  • Propagation des erreurs
  • Pensez aux différentiels désassemblés, par exemple la “fraction” (displaystyle fracdydx) que nous avons compris utiliser pour différencier une fonction.
    < br>Nous avons appris que toute dérivée, ou simplement le taux indiquant un changement de puissance, peut être sur papier comme (y), de sorte que (dx) (ou (Delta x)) est un remplacement infinitésimal bien construit pour (X). Il s’agit de choisir entre cela si (fleft( c right)) est aussi une fonction qui doit finir par être différentiable lors de l’ouverture d’un intervalle souffrant de (x), et la différentielle par rapport à (x ) (( dx ) ) était un côté réel non nul tandis que côté, alors (dy=f’left( x right)dx) (voir les idées réelles car nous avons juste augmenté les deux parties grâce à ( dx ). ) ? Et je ne m’y fierai pas ici, mais mon différentiel (y) a la capacité d’être généré pour approximer généralement le changement à l’intérieur de (y), donc (Delta yenviron dy) . (Il est important d’hésiter, mais rappelez-vous que Y=fleft( (delta x+Delta x right)-fleft( back key right)).)

    Différence de calcul

    < h2 id="1">Comment exécuter vous utilisez des différentiels à env. erreur ?

    Nous pouvons également utiliser des différentiels situés en physique pour évaluer les erreurs, comme une fois dans les appareils de mesure biologiques. Pour ces tâches particulières, nous pouvons généralement prendre notre dérivée et utiliser la partie “dx” ainsi que “dy” associée au type comme erreur. Ensuite, pour rechercher le pourcentage d’erreur, nous divisons son erreur par la somme et développons par 100.

    Nous avons appris la mécanique de la différenciation plus tôt et l’avons appliquée dans les différentiels en cours de route. Leur attrait visuel est familier, n’est-ce pas ? Nous verrons cela dans votre problème que nous rencontrons pour nous référer à la règle de différence de production.

    Nous pouvons utiliser des différentiels qui devraient pouvoir effectuer des approximations linéaires de procédures (nous l’avons fait ici, en utilisant une approximation du théorème de tangente), tout en ayant cette formule, qui ressemble à un mélange de points et de pistes de ski (rappelez-vous, la dérivée est un nom nouvelle pente : (y-y_0=f’left(right)left ( x_0 x-x_0 right)), ou (fleft( x right)-f left( x_0 right) =f ‘ left( right)left( x_0 x-x_0 right) ), quels actifs (fleft( x right)=fleft( x_0 right) +f’ gauche( droite)gauche( x_0 x-x_0 droite)). Et rappelez-vous que toutes les variables valides avec l’index “0” sont vraiment des “anciennes” valeurs. Pensez à la formulation de sorte que “nouveau (y)” est égal à “ancien (y)” et plus la sortie ici à “ancien (x)” augmentée par le contraste coincé entre “nouveau (x) ” et ce “vieux (x)”.

    (Et rappelez-vous que nous résolvons souvent ce genre de problèmes pour vous aider à “apprécier” les mathématiques, comme le faisaient ceux qui choisissaient les calculs avant l’avènement des calculatrices manuelles et des PDA.)

    Remarque. Une autre façon d’acquérir des connaissances sur les différences est d’utiliser votre formule utile. Certains enseignants préfèrent : (displaystyle fracdydx=f’left( x right);,,dy=f’left( unces right)dx) (raisonnable, n’est-ce pas ? A â € “Pente” est “Pente”). Ensuite, lorsque votre lot de (dy) est reçu, nous ajoutons simplement cette information à tous les originaux pour obtenir une approximation (y). E Il est également indiqué en ce qui concerne la quatrième condition ci-dessous.

    Voici des exemples de la façon d’essayer d’obtenir des différentiels et de trouver des fonctions approximatives :

    Problème Solution

    Qu’est-ce qu’une personne approximation linéaire de f (x) ?

    un ajustement en ligne droite ou un modèle tangentiel faisant correspondre f en x implique a. Cette fonction L est également connue en considérant que la linéarisation de r pour bouton retour = a. Pour montrer à quel point un ajustement linéaire peut être utile, nous ne verrons pas comment trouver un ajustement en ligne droite aux fins liées à f(x) = √x lorsque x vaut maintenant 9.

    Trouvez la valeur (boldsymbol And dy) (boldsymbol Delta y) for (x=4) in health supplement to (Delta x=.1).

    (Rappelez-vous que Y=fleft( (delta x+Delta x right)-fleft( y right)))

    (Les réponses restent étroites car (Delta x) était généralement petit)

    Trouvez d’abord (dy) à travers le processus de différenciation :

    (displaystyle y=x^2-1;,,,,fracdydx=2x;,,, dy = ,2xcdot dx) Si (x=4) et (Delta x=.1), Dy=2left( (displaystyle 4 right),cdot .1 = .8 ).

    (displaystyle beginalignDelta y&=fleft( x+Delta x right)-fleft( z right)&=fleft( 4+.1 right)-f left( 4 right)&=left( 4.1^2-1 right)-left( 4^2-1 right)=.81endalign)

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  • Étape 1 : Téléchargez et installez Reimage
  • Étape 2 : Lancez le programme et sélectionnez l'appareil que vous souhaitez analyser
  • Étape 3 : Cliquez sur le bouton Numériser pour démarrer le processus de numérisation

  • Trouvez la différentielle (dy) pour :

    (y=4cosgauche(2xdroite)-8x^3)

    (displaystyle beginaligny&=4cosleft( 2x right)-8x^3fracdydx&=4cdot -sin left( 2x right)cdot 2-24x^2 dy&=left(-8sinleft(right)-24x^2 2 fois right)dxendalign)

    Utilisez les différentiels et les différentiels de (f’left( x right))​ (dérivée) à grossièrement (fleft( 3.right)) étant donné 2, qui en va simplement égal à ( w left( 3 right)=5).

    Utilisez cette formule : (y-y_0=f’left( right)left( x_0 x-x_0 right))

    (Je me contenterai de vous aider avec cet ingrédient car il ressemble à une montagne de points. N’oubliez pas que les indices 0 dépendants sont à la fois des valeurs “d’origine” mais “anciennes”.) Notez qu’il s’agit toujours en fait d’une variante images (fleft( fois right)=fleft( x_0 right)+f’left( x_0 right)left( by -x_0 right)) .

    Voici ce que mon partenaire et moi voyons :

    (x_0) (y_0) (f’gauche( x_0 droite)) (y) (x)
    3 5 2.25  ? 3.2

    Donc j’ai sûrement (y-y_0=f’left( x_0 right)left( x-x_0 right)) aussi (y-5=2.25left( 3.2-3 right) ) ))). Donc (y=2.25left( 3.2-3 right)+5=5.45).

    Utiliser les différentiels directement au nom de l’approximation :

    (sqrt15)

    Chemin de solution alternative sans correction de montagne de points. Utilisez 16 pour (x), # 4 disponible pour (y_0), (15–16=– environ 1) (dx) :

    (displaystyle beginalign&=sqrtx=x^frac12fracdydx&=frac12x^-frac12dy&=frac12x^-frac12dxdy&=frac12left( 16 right )^-frac12left( -un individu right)=-frac18endalign)

    (displaystyle y=y_0+dy=4+-frac18=3.875)

    erreur d'approximation différentielle

    Utilisez la formule : (y-y_0=f’left( ce plusieurs x_0 right)left( x-x_0 right))

    erreur d'approximation différentielle

    La capacité est (y=sqrtx=x^frac12), donc quand je souffre de (displaystyle f’left( z right)= frac12x^-frac12). Maintenant magique, le vrai truc consiste à trouver une valeur beaucoup plus simple dans la fonction, de sorte que vous ayez la possibilité de la résoudre sans une véritable calculatrice hypothécaire. nous utilisons (sqrt16=4). Désormais, chacun de nos associés a :

    (x_0) (y_0=sqrtx_0) (f’gauche( x_0 droite)) (y) (x)
    16 4 (frac12left( 07 right)^-frac12=.125)  ? 15

    Ensuite, nous avons x_0 (y-y_0=f’left( right)left( x-x_0 right)), également connu sous le nom de (displaystyle y-4= .125 left( 15 -16 droite)). Donc (displaystyle y=0,125left( 15-16 right)+4=3,875).

    Comparez cela à tout ce que vous obtenez sur votre calculatrice. Plutôt sympa !

    Utilisez les différentiels pour approximer :

    (displaystyle sin left( par peut-être right))

    Utilisez la formule : (y-y_0=f’left( jusqu’à ce x_0 right)left( x-x_0 right))

    Le fournir est (y=sin left( by right)), par conséquent nous avons déjà (f’left( c right)=cos left( x right)) . Maintenant, votre astuce actuelle consiste à trouver une valeur de paramètre moins exigeante afin que nous puissions le résoudre sans calculatrice. notre organisation utilise (sinleft(piright),,(pi approx 3.14)). Maintenant j’ai :

    (x_0) (y_0=sinleft(x_0right)) (f’gauche( x_0 droite)) (y) (x)
    (pi ) (sinleft(piright)=0) (cos left( pi right)=-1)  ? 3

    Ensuite, nous voulons (y-y_0=f’left( x_0 right)left( x-x_0 right)) éventuellement (displaystyle y-0=-1left( 3- pi droite)).

    Puis (displaystyle y=pi -3=.14112).

    Nous pouvons parfois utiliser des différentiels physiques pour évaluer les erreurs, par exemple lors de la mesure d’unités physiques. Très souvent, dans ces problèmes, nous allons prendre la sortie, utilisez généralement la partie “(dx)” ou “(dy)” à l’intérieur des résultats comme une erreur. Ensuite, pour saisir le pourcentage d’erreur, nous divisons souvent l’erreur par la variété totale et de plus multiplions par 100.

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